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Le dernier théorème de Fermat

Un étudiant baille en écoutant son professeur de maths. Il feuillette pendant la palabre de son enseignant un recueil d’exercices mathématiques d’une difficulté un peu plus triviale que ne peuvent l’être les systèmes d’équations différentielles, mais les amusements calculatoires captivent bien plus l’étudiant alangui que la sorcellerie magique de dx.
Soudain, le regard de l’étudiant se porte sur une équation fort simple, mais criarde de force:

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

La puissance de cette équation est qu’elle fait le pont entre la géométrie et les nombres entiers. Il se trouve en effet que l’équation qui définit le rapport des arêtes d’un triangle rectangle a des solutions entières, dont le triplet (3,4,5). Il en existe d’autres.
Il en existe une infinité. On les appelle les triplets pythagoriciens.
On sait par ailleurs que tout triplet pythagoricien s’écrit sous la forme:

$a = 2kml$
$b = k(m^2 – l^2)$
$c = k(m^2 + l^2)$
où $m$ et $l$

sont de parité différentes, et m supérieur à l. L’étudiant amusé grifonne sur une feuille

$a^{n} + b^{n} = c^{n}$

et se demande si cette équation a une solution entière si n est supérieur à 2. Il écrit sur une feuille quelques nombres, et essaie de parvenir fiévreusement à quelque exemple pouvant être une solution particulière. Mais rien ne marche. Il essaie alors le cas où n
vaut 4. Et là encore, aucune solution pour tous les essais effectués.
Dans un éclair de génie, l’étudiant déroule dans son esprit quelques manipulations mathématiques, et finit par écrire en marge de son livre:
«
$a^{n} + b^{n} = c^{n}$

n’a pas de solution entière pour n supérieur à 2. J’ai une démonstration merveilleuse, mais cette marge est trop étroite pour la contenir.»

L’étudiant un peu naïf, en écrivant cette prodigieuse formule, ne réalisait pas que sous sa plume se déroulaient trois siècles d’histoire.
Le Prince des amateurs, un prodige comme l’humanité n’en a connu que peu, qui étudia les mathématique par lui-même en lisant religieusement un recueil du Grec Diophante, L’Arithmetica, faisait de même au XVIIe siècle. En marge de son manuel, au chapitre traitant des nombres pyhtagoriciens, Fermat écrivait en 1637 un laconique : «J’ai une merveilleuse démonstration, mais cette marge est trop étroite pour la contenir»,
et bouleversait par là même, et ce durant trois siècles, les esprits des mathématiciens, et non des moindres, puisque Euler et Cauchy ont déjà tenté leur chance sur cette piste abrupte.

Fermat était un passionné de mathématique qui s’amusait à titiller ses contemporains, et les mathématiciens qui vinrent après lui, en donnant toujours le résultat de ses recherches, mais en dissimulant scrupuleusement la façon dont il y parvenait. C’est ainsi que cette vérité édifiante et pourtant compréhensible par n’importe quel écolier qu’est l’énoncé du dernier théorème de Fermat, et qui stricto senso est en fait une conjoncture, a eu besoin de la force brute des mathématiques modernes pour trouver une solution. Ce faisant, elle créait un pont entre deux disciplines des mathématiques, les équations elliptiques et les formes modulaires, faisant intervenir au passage des représentations Galloises.
Tout un ensemble d’outils que Fermat ne pouvait pas connaître…

La mise en oeuvre de cet arsenal laisse une grande ombre sur la vérité de la formule laconique de Fermat qui prétendait avoir une solution «merveilleuse». Mais l’histoire retiendra que la formule était inspirée, et lorsque l’actualité de la démonstration de ce qu’on aura appelé le Dernier théroème de Fermat faisait la une des journaux du monde entier (et ce pour la seconde fois au XXe siècle!), on trouva sur les murs du métro de New York un graffiti qui disait:

«
$a^{n} + b^{n} = c^{n}$

n’a pas de solution entière pour n supérieur à 2. J’ai une démonstration merveilleuse, mais mon train arrive.»

On raconte aussi que le dernier théorème de Fermat aura sauvé une vie. Un riche Allemand, du nom de Wolfskehl, entièrement déçu par une superbe femme qu’il courtisait et qui repoussa ses avances, passera la nuit de son suicide, qu’il avait pourtant pris grand soin d’organiser, à l’étude des démonstrations alors proposées pour appuyer le dernier théorème de Fermat. Il s’y plongea si intensément, et finit par trouver une faille dans une démonstration supposée disqualifier les travaux de Cauchy sur le sujet, démonstration qui l’en avait effectivement détourné, mais qui fit créer à l’académie française un prix pour récompenser celui qui parviendrait à trouver une démonstration au dernier théorème de Fermat. Heureux de son exploit, le riche Allemand découvrait le jour qui se levait, laissait derrière lui son projet de suicide, et finit par créer un prix d’une valeur exhorbitante à celui qui découvrait une preuve en léguant une bonne partie de sa fortune en héritage, au grand dam de son épouse et de ses descendants.

Si le théorème de Fermat a pu tant passionnner, il est étonnant de savoir qu’il fasse partie, comme bon nombre des développements mathématiques connus, sans aucune utilité pratique. Son histoire reste néanmoins déroutante, et le curieux intéressé par celle-ci est chaleureusement invité par l’auteur de ces ligne à lire « Le Dernier Théorème de Fermat » de Simon Sing. On y trouvera un soulagement pour bien des nuits blanches.




*Les auteurs ont l’entière responsabilité de leurs articles et n’engagent d’aucune façon l’équipe du Polyscope ou de l’AEP, sauf lorsque la signature en fait mention. Nous laissons au lecteur la jugeote de déceler le sarcasme saupoudré sur nos pages.

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